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前几天我们在《浅析常见的算法范式 》中讨论了一些常见的算法范式，但是还留下了回溯算法没有解决。本文来研究回溯算法。

回溯是通过逐步构建解决方案来解决递归问题的算法。通常回溯从可能的解决方案开始，如果它不起作用，则需要回溯并尝试另一种解决方案，直到找到可行的解决方案为止。回溯在解决 CSP（约束满足问题）时特别有用，例如填字游戏、迷宫和数独等。

通常回溯算法可用于以下三种类型的问题：

  1. 需要找到可行解决方案的决策问题
  2. 需要找到最佳解决方案的优化问题
  3. 需要找到一组可行解决方案的列举问题

在本文中，我将通过解决数独问题来演示回溯策略。

解决数独问题

针对此类问题的回溯算法会尝试在每个空格中列举所有的数字，直到问题被解决为止。先从 main 方法开始：

function sudokuSolver(matrix) {
    if (solveSudoku(matrix) === true) {
        return matrix;
    }
    return '无解';
}

接下来看一看算法的主要逻辑：

const UNASSIGNED = 0;

function solveSudoku(matrix) {
    let row = 0;
    let col = 0;
    let checkBlankSpaces = false;

	// 验证数独是否已解决，如果尚未解决，则获取下一个空格的位置
    for (row = 0; row < matrix.length; row++) {
        for (col = 0; col < matrix[row].length; col++) {
            if (matrix[row][col] === UNASSIGNED) {
                checkBlankSpaces = true;
                break;
            }
        }
        if (checkBlankSpaces === true) {
            break;
        }
    }
    //当没有空格时则意味着已经解决
    if (checkBlankSpaces === false) {
        return true;
    }

    // 尝试用正确的数字填充空格
    for (let num = 1; num <= 9; num++) {
        // isSafe 用于检查在行、列或 3x3 的格子中是否已经存在了数字 num（代码实现在后面）
        if (isSafe(matrix, row, col, num)) {
            matrix[row][col] = num;

            if (solveSudoku(matrix)) {
                return true;
            }
			// 如果 num 所在的位置不合适，需要再次标记为“空格”，然后用不同的 num 回溯
            matrix[row][col] = UNASSIGNED;
        }
    }
    return false;
}

接下来看辅助函数的实现：

function isSafe(matrix, row, col, num) {
    return (
        !usedInRow(matrix, row, num) && 
        !usedInCol(matrix, col, num) && 
        !usedInBox(matrix, row - (row % 3), col - (col % 3), num)
    );
}

function usedInRow(matrix, row, num) {
    for (let col = 0; col < matrix.length; col++) {
        if (matrix[row][col] === num) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

function usedInCol(matrix, col, num) {
    for (let row = 0; row < matrix.length; row++) {
        if (matrix[row][col] === num) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

function usedInBox(matrix, boxStartRow, boxStartCol, num) {
    for (let row = 0; row < 3; row++) {
        for (let col = 0; col < 3; col++) {
            if (matrix[row + boxStartRow][col + boxStartCol] === num) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

最后对算法进行测试：

const sudokuGrid = [
    [5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0], 
    [6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0],
    [0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0],
    [8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3],
    [4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1],
    [7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6],
    [0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0],
    [0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9]
];

console.log(sudokuSolver(sudokuGrid));

以下是通过回溯法求解数独问题的模拟动画：

sudoku being solved by backtracking

希望本文能帮你理解回溯算法，以后我门还会再讨论更多有趣的算法。

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